лазить и лазает оба варианта возможны. Насколько я знаю, лазает считается разговорной формой ( у Ожегова так), литературная форма лазит. Именно она должна использоваться в письменной речи. В устной оба варианта допустимы.
Правильно помидоров. Это мн.ч. род. падеж. Если есть сомнения, открываете любой толковый словарь, Ожегова, Шведовой, Ушакова, Академический, там всегда в словарной статье после начальной формы сущ. указывается вариант в родительном падеже множественного числа ( поскольку именно эта форма слова вызывает сомнения) и род.