1. Поведение очередей в потоке – ”очередь в потоке”.
2. Поведение машин в очереди – ”машина в очереди”.
Модели ”машина в потоке” к настоящему времени хорошо изучены. Модели ”очередь в
потоке” и ”машина в очереди” пока не изучались и с такой точки зрения не рассматривались.
Эти вопросы необходимо исследовать.
Теория очередей
В теории транспортных поток ов часто возникает ситуация ограниченности ресурса.
Самым распространенным примером является нерегулируемое пересечение дорог, а также
участки сужения. В этом случае ограниченным ресурсом является участок пересечения
(сужения), и два потока автомобилей конкурируют за доступ к этому ресурсу. Изучением
подобных ситуаций занимается теория массового обслуживания (ТМО). Как было показано
в ряде последних исследований (например, Вандэйла (Vandaele) , Ван Воэнсела, Кретена
и Вандэйла ), модели ТМО позволяют получать хорошие результаты при моделирова-
нии плотных транспортных потоков. Методы СМО успешно использовались и в работах
российских исследователей для изучения конфликтных транспортных потоков, про-
езжающих через регулируемый перекресток.
При использовании методов ТМО для анализа ТП участок дороги делится на сег-
менты, длина которых выбирается из расчета минимально необходимого пространства для
размещения на дороге одного транспортного средства
Участок транспортной сети с нерегулируемым пересечением в ТМО можно рассмат-
ривать как систему массового обслуживания (СМО) с двумя очередями и одним обслужива-
ющим прибором (сервером). СМО с нескольким очередями называется системой поллинга
(системой с циклическим опросом).
Для построения модели проезда транспортных средств через нерегулируемое пересе-
чение необходимо определить следующие характеристики: тип модели, порядок обслужи-
вания, дисциплину обслуживания.
По типу модель дискретная, поскольку число очередей и число мест для ожидания ко-
нечно. Порядок обслуживания очередей – циклический, поскольку транспортные средства
проезжают некоторым образом через пересечение с обеих дорог .
Дисциплины обслуживания очередей подразделяются на детерминированные и сто-
хастические. В нашем случае пересечение нерегулируемое, следовательно, порядок проезда
случайный. Дисциплина обслуживания является самым важным параметром. Остановимся
на нем подробнее. При случайной дисциплине число заявок, которое может быть обслуже-
но в очереди (число автомобилей одной полосы, которые могут проехать через перекресток
друг за другом), определяется значением дискретной случайной величины. К настоящему
времени исследованы системы поллинга со следующими случайными дисциплинами:
1. Биномиальная, при которой случайная величина имеет биномиальное распределе-
ние.
2. Дисциплина Бернулли, при которой первая заявка в очереди обслуживается с веро-
ятностью 1, а каждая последующая с вероятностью p. С противоположной вероят-
ностью 1 − p обслуживание очереди прекращается.
Подробная классификация дисциплин обслуживания приведена в . Мы построим
модель с новой стохастической дисциплиной обслуживания.
Математическое моделирование
Место пересечения является ограниченным ресурсом (пропускная способность пере-
сечения конечна), к которому получают доступ автомобили двух дорог . Полагаем также,
что на дороге могут уместиться конечное число автомобилей, M – на первой дороге, N –
на второй.
При заданных ограничениях предполагаем, что транспортный поток может вести
себя следующим образом:
• первая дорога является приоритетной, то есть, если автомобили этой дороги проез-
жают через пересечение, то автомобили второй могут проехать лишь тогда, когда
возле пересечения нет автомобилей из первой дороги (в терминахТМО первая по-
лоса представляет собой очередь с исчерпывающим обслуживанием).
• если первая (приоритетная) дорога пуста, а вторая заполнена, через пересечение
проезжают машины со второй дороги, второй очереди в модели СМО.
• если начался проезд через пересечение автомобилей со второй дороги, а на пер-
вой дороге появились автомобили, то каждая следующая машина со второй дороги
проезжает через пересечение с вероятностью pm, где m – число машин на первой
(приоритетной) дороге.
Таким образом, число автомобилей, проехавших с каждой из очередей (дорог) через
сужение, случайно и для второй очереди зависит от длины первой.
Введем следующие обозначения:
• λ1, λ2 – интенсивности поступления автомобилей на первой и второй дорогах, соот-
ветственно. (Обозначим при этом λ = λ1 + λ2);
• μ1, μ2 – интенсивности проезда через пересечение автомобилей с первой и второй
дорог соответственно.
Для описания состояний системы в произвольный момент времени рассмотрим набор
трех параметров (i, m, n), где i – номер дороги, автомобили которой проезжают через пере-
сечение, m – число автомобилей на первой (приоритетной) дороге и n – число автомобилей
на второй дороге.
Предположим, что система функционирует в стационарном режиме, то есть веро-
ятности состояний системы не зависят от времени и от начальных условий. Система, в
которой такой режим существует, за конечное время переходит в стационарный режим
функционирования.
Введем стационарные вероятности состояний системы. Пусть πi(m, n) – стационарная
вероятность того, что система находится в состоянии (i, m, n).
4. Уравнения равновесия
Для состояния, когда на дорогах нет автомобилей, будем опускать индекс i, поскольку
автомобили не проезжают через пересечение и ни одна из дорог не имеет к нему доступа.
Интенсивность λ выхода системы из состояния (0, 0) равна интенсивности входа в это
состояние
Заметим, что перейти в состояние (0, 0) можно лишь из состояний (1, 1, 0) и (2, 0, 1)
за счет обслуживания заявки:
λπ(0, 0) = μ1π1(1, 0) + μ2π2(0, 1). (1)
Интенсивность выхода из состояния, в котором на первой полосе находится m машин,
а на второй – n, а система далее продолжает обслуживать первую очередь (проезд через пе-
ресечение продолжают автомобили из первой, приоритетной дороги), равна (λ+μ1)π1(m, n).
Она может уравновешиваться следующими интенсивностями входа в это состояние:
• в первую очередь могла поступить одна заявка (к сужению подъехать один автомо-
биль) – λ1π1(m − 1, n),
• во вторую очередь могла поступить одна заявка на обслуживание:
λ2π1(m, n − 1),
• в первой очереди могла обслужиться одна заявка: μ1π1(m + 1, n),
• могла обслужиться одна заявка из второй очереди. А так как система продолжает
обслуживать первую очередь, то после обслуживания заявки из второй очереди дол-
жен произойти отказ от обслуживания второй очереди: μ2(1 − pm). Таким образом,
общая величина интенсивности равна μ2(1 − pm)π2(m, n + 1),m > 0.
Более наглядно рассуждения можно представить в виде графа переходов .
Следовательно, второе уравнение равновесия имеет вид
(λ1I{m= λ1π1(m − 1, n)I{m>1} + λ2π1(m, n − 1)I{n>0} +
+ μ1π1(m + 1, n)I{mm = 1,M, n = 0,N,
где IA – функция-индикатор выражения A, IA =
1, если A верно;
0, в противном случае.
Используя аналогичные рассуждения, получаем оставшиеся уравнения равновесия:
(λ + μ1)π1(1, 0) = λ1π(0, 0) + μ1π1(2, 0) + μ2π2(1, 1), (3)
(λ + μ2)π2(0, 1) = λ2π(0, 0) + μ1π1(1, 1) + μ2π2(0, 2), (4)
(λ1I{m0} + (5)
+ λ2π2(m, n − 1)I{n>1} + μ1π1(1, n)I{m=0} + μ2pmπ2(m, n + 1)I{nm = 0,M, n = 1,N.
Систему уравнений равновесия решаем численно с добавлением условия нормировки
Σπ0 +ΣMm=Σ1ΣNn=0
π1(m, n) +Mm=0
Nn=1
π2(m, n) = 1.
С помощью стационарных вероятностей πi(m, n), i = 1, 2, можно найти следующие
характеристики:
• Средние длины очередей:
ΣΣL1 =ΣΣM
m=1Nn=0
mπ1(m, n), L2 =M
m=0
Nn=1
nπ2(m, n).
• Вероятность не застать мест для ожидания в очереди
ΣP1 =ΣN
n=0π1(M,n), P2 =
Mm=0
• Среднее время ожидания в очереди
Wi =Li
λi(1 − Pi), i= 1, 2.
Последнее равенство получено с помощью формулы Литтла Li = ˜λiWi, где ˜λi –
интенсивность поступления заявок в i-ю очередь. Поскольку число мест для ожи-
дания ограничено, эта интенсивность определяется через вероятность того, что по-
ступающая в очередь заявка застанет в ней свободное место для ожидания, то есть
˜λi = λi(1 − Pi).
5. Результаты численного и имитационного моделирования
Проверку численныхзна чений, полученных с помощью аналитической модели, про-
ведем с помощью имитационной модели. Имитационная модель создана на языке GPSS
на основе описания, приведенного в разделе 3. Имитационные эксперименты с моделью
проведены в среде GPSS World Student Version 4.3.5.
В табл.1, 2 приведено сравнение результатов численных экспериментов с аналитиче-
ской и имитационной моделью для следующих параметров:
• Длина буфера – 15.
• Значения загрузки для симметричных очередей : ρ = 0, 6 (ρ1 = ρ2 = 0, 3),
для несимметричных очередей (табл.2): ρ = 0, 4 (ρ1 = 0, 1, ρ2 = 0, 3).
• Интенсивность поступления заявок (транспортных средств) в очереди для симмет-
ричного случая λ1 = λ2 = 0, 833 и λ1 = 0, 279, λ2 = 0, 833 для несиммет-
ричных очередей ).
• Интенсивность обслуживания в обоих случаях(т абл.1 и 2): μ1 = μ2 = 2, 78.
Кроме того, были проведены численные расчеты параметров при фиксированной ин-
тенсивности поступления в систему транспортных средств на второй дороге λ2 = 0, 833 и
изменении интенсивностей поступления транспортных средств на первой (приоритетной)
дороге: 0,001, 0,279, 0,557, 0,833, 1,113, 1,391, 1,669, и наоборот – при фиксированном зна-
чении λ1 = 0, 833 и том же наборе интенсивностей для второй дороги.
На рис. 5–7 приведены графики зависимости средней длины очереди на первой, при-
оритетной дороге (L1) и второстепенной примыкающей дороге (L2) от вероятности p при
трехзначениях λ1.
Зависимость средней длины очередей
от вероятности при λ1 = 0.14
Зависимость средней длины очередей
от вероятности при λ1 = 0.83
Зависимость средней длины очередей от вероятности при λ1 = 1.67%
Более интересными представляются зависимости средних длин очередей от λ1 при
фиксированных значениях вероятности p = 0, 5 и интенсивности λ2 = 0, 83 ), а также
от λ2 при фиксированных значениях p = 0, 5 и λ1 = 0, 83 ).
Поскольку система является несимметричной, т.е. автомобили первой дороги облада-
ют приоритетным преимуществом на проезд через пересечение по сравнению с автомо-
билями второй дороги, рост интенсивности движения на первой (приоритетной) дороге
практически не вызывает образование и рост очереди на главной дороге. Иными словами,
увеличение интенсивности поступления транспортных средств на первой (приоритетной)
дороге практически не влияет на очередь, тогда как рост интенсивности на второй (второ-
степенной) дороге приводит к образованию очереди и быстрому ее увеличению при значе-
нияхзагрузки ρ, близкихк единице, т.е. к предельному значению пропускной способности.
Зависимость средней длины очередей
от интенсивности λ1 при P = 0.5
Зависимость средней длины очередей
от интенсивности λ2 при P = 0.5
Заметим, что в Алма-Атах подобную ситуацию можно часто наблюдать на нерегулируемых
участках въезда на ВОАД.
Кроме того, результаты моделирования подтверждаются эмпирическими наблюдениями зарубежных специалистов, говорящих о том, что переход от свободного потока к
насыщенному может случаться и спонтанно, и очень быстро. Часто это случается около
наклонных въездов на автомагистраль, когда происходит внезапное увеличение числа ав-
томобилей на дороге, что может превращать поток в ”движущееся желе”
В рамках нового подхода (см. построена аналитическая модель образования
очереди на нерегулируемом пересечении. Предложенная и исследованная в данной работе
модель с двумя очередями имеет новую, неисследованную ранее стохастическую дисципли-
ну, которая позволяет описать особенности поведения водителей транспортных средств на
нерегулируемом пересечении в условиях высокой интенсивности движения. Модель позво-
ляет найти средние длины очередей и средние времена ожидания.
Кроме новизны аналитической модели и ее использования, в рамках нового автор-
ского подхода к исследованию транспортных потоков в условиях переполненных дорог но-
вым является и применение моделей массового обслуживания с двумя очередями в теории
транспортных поток ов для описания водительского поведения и образования заторов на
нерегулируемых пересечениях .