В этом году дважды вылетали из Шереметьево с котом - в апреле и мае. Т.к. вылет в зону таможенного союза, то никакой отметки вета не требовали.
Заноза, ваш заводчик должен получить форму Ф-1. Форма должна быть выписана на перевозчика. Вет. паспорт должен быть международного образца со всеми нужными прививками, бешенство - обязательно, также с отметками по обработке от клещей и т.д.
Также уточните по поводу чипа, может, имеет смысл сразу и прочипировать. В целом в России обязательное чипирование не введено, но у отдельных субъектов федерации имеется отдельное требование, например, в Башкирии (в мае привезла кошечку из Уфы - заводчица вовремя уточнила и прочипировала, а то бы котенка не выпустили)
Если авиакомпания подтвердит запрос на животное, попросите внести в авиабилет, чтобы не было проблем на регистрации как у Kakashi, когда по телефону вроде подтвердили, а по факту - нет.
Требование по размеру переноски имеются на сайте эйр-астаны. По факту, никто конечно с сантиметром на регистрации не стоит, но желательно выбрать такой размер, чтобы переноска вместилась под впереди стоящее кресло в салоне самолета, жесткое дно обязательно, из-за соображений безопасности стюарды вряд ли позволят держать переноску на руках весь полет, (подумайте о соседях, я оба раза летала туда и обратно при полной загрузке самолета пассажирами).