Сообщений в теме: 177

[erbol21]

Самая короткая дистанция - прямая линия. Длина отрезка АС равно длине А1С. А значит прямой отрезок А1В - и есть самая короткая дистанция от А1 до В, а равно и от А до В. Точка пересечения А1В с прямой С лежит на этой прямой, а потому и обеспечивает кратчайший путь от А до В. Вот и всё обоснование. У меня есть ещё более "навороченное" доказательство. Сюда оно просто не войдёт.

[Васёк Матвееff]

Студент спрашивает препода о практической стороне применения неопределенного интеграла. Препод через некоторое время:
- Знаете молодой человек, однажды я зашел в общественный туалет и вдруг у меня упали ключи от дома в унитаз. Так я не растерялся, согнул проволоку в фиде неопр. интеграла и достал ключи!

[Visual1]

Один из авторов уже нашел правильное решение! Очевидно, он и станет победителем. Однако доказательство правильности найденного решения у автора пока не достаточно четкое.

Конечно, доказательство разрешается дать словами (как было Вами сделано), но лучше приложить чертеж - чтобы ни у кого уже точно не возникало сомнений и возможности неправильного толкования Ваших слов. В любом случае, доказательство должно получиться еще проще и яснее, чем у Вас сейчас есть.

Чтобы полностью подтвердить свое первенство, Вам остается доказать, что если выбрать любое другое положение точки С (то есть не такое, как было предложено Вами), то длина ломаной АСВ будет больше.

[erbol21]

Не могу вставить изображение. Подскажите как.

Сообщение отредактировал erbol21: 20.06.2005, 19:39:27

[erbol21]

Вот и картинка. Кратчайший путь - напрямую через точку С. Точки C1 и С2 не соответствуют прямому, а значит кратчайшему, пути от А до В.
Всё.

Сообщение отредактировал erbol21: 20.06.2005, 19:57:47

[Padre]

"Угол падения равен углу отражения." © Катехизис для юных любителей бильярда.

[Visual1]

Erbol21:
Поздравляю с заслуженной победой! И подтверждаю правильность доказательства (хотя все-таки считаю, что для задачи на уровне 8 класса доказательство должно быть еще проще и яснее).

Вот как выглядит, на мой взгляд, наиболее простое и четкое доказательство:

Проведем перпендикуляр из какой-либо одной точки на прямую MN (из A или В - безразлично, по условию ни одна точка не имеет какого-то особого преимущества. Для определенности возьмем точку В). Длина перпендикуляра BP известна, по условию. Отложим BP в противоположную сторону от MN (другими словами, выполним зеркальное отображение отрезка BP относительно оси симметрии MN). Соединим точку А с точкой B' и рассмотрим прямоугольные треугольники BCP и B'CP. Они равны, так как у них равны стороны BP и BP' (по построению) и одна сторона (CP) общая. Значит, расстояние АСB' = ACB, и можно вместо ACB рассматривать ACB'. Но АСB' - прямая линия, а из всех линий, соединяющих какие-либо две точки, только прямая будет кратчайшей.

Любая другая точка (например, точка T) будет образовывать ломаную ATB', которая всегда будет длиннее.

Все это можно выразить еще короче и нагляднее на приведенном ниже рисунке:



Еще раз поздравляю с правильным решением!

Сообщение отредактировал Visual1: 20.06.2005, 21:55:43

[Georgich]

Заморочили мне тут голову
вот какие надо задачи по математике задавать:

1. Разомлев от ласк одноклассника, Танечка позволила перевести себя в
горизонтальное положение и легла спиной на густую траву. При этом она успела заметить, что ручка ковшика Большой Медведицы находится под углом 35 градусов к горизонту. Когда одноклассник, со словами "видишь, а ты боялась", наконец, оторвался от девушки, она опять смогла определить, что ручка ковшика Большой Медведицы перешла на угол 15 градусов к горизонту. Сколько времени Танечка находилась в горизонтальном положении?
или вот:
2. Важнейший орган мужчины в походном состоянии имеет форму цилиндра
диаметром 3 см, длиной 8 см. Рабочий конец конструкции представляет собой
полусферу того же диаметра. В боевом состоянии увеличенный орган имеет длину 17 см и диаметр 4 см. Вычислите объем крови, за счет прилива которой получается такое чудесное превращение. Эффектом сжатия пренебречь.

[Visual1]

Заморочили мне тут голову
вот какие надо задачи по математике задавать:
...

Посмотрим, много ли желающих найдется тратить свое драгоценное время на Вашу "задачу".

Какие задачи по математике надо задавать, а какие не надо - тоже не Вам решать, малоуважаемый.

Вообще-то никто Вам голову не морочил и насильно сюда не тащил, так что шутка Ваша не смешная, и на шутку не похожая (знак смайлика там ни к чему).

[Visual1]

2 All:

Вот еще одна задачка, тоже очень простая (за 8 класс, не выше) и тоже с практической направленностью. В каком месте лучше всего построить мост на реке, чтобы общая длина пути из А в В через реку была наименьшей?

Положение пунктов А и В, как и ранее, задано по условию. Ширина реки (а значит, и длина моста) тоже задана и повсюду постоянна - по условию, берега реки представляют собой параллельные линии. Мост на реке обязательно должен быть перпендикулярен берегам.

Нужно не только найти решение, но и доказать его правильность (то есть, что при строительстве моста только в предлагаемом Вами месте, а не в любом другом, общая длина пути из А в В через MN будет кратчайшей).

Сообщение отредактировал Visual1: 21.06.2005, 22:47:16

[Centaur]

Эта задача аналогична предыдущей

Соответственно и ответ аналогичный:
мост ставим так, чтобы отрезки путей от точек А и В до моста лежали на параллельных прямых

[≈777≈]

решение такое: проводится прямая через А и В. Она пересечет реку скажем в точках А1 и В1. От А1 восстанавливаем вверх перпендикуляр А2 на другом конце реки и от В1 соответственно опускаем перпендикуляр В2. Получился А1А2В1В2 прямоугольник.

Находим середину А2В1 и обзываем точкой N. И середину А1В2 - обзываем M. Соединяем M & N - это наш мост NM, ну а потом соединяем N с В, а М с А, вот и найдено кратчашее расстояние от А до В. Так как за основу взято самое кратчайшее расстояние АВ - прямая линия, но условие поставить мост заставляет найти серединное положение в образованном прямоугольнике А1А2В1В2 и проходить этот мост MN будет точно по середине диагонали А1В1

[Visual1]

Эта задача аналогична предыдущей

Соответственно и ответ аналогичный:
мост ставим так, чтобы отрезки путей от точек А и В до моста лежали на параллельных прямых

Не приведен способ построения таких параллельных прямых. Также не приведено доказательство правильности предлагаемого решения.

[Visual1]

решение такое: проводится прямая через А и В. Она пересечет реку скажем в точках А1 и В1. От А1 восстанавливаем вверх перпендикуляр А2 на другом конце реки и от В1 соответственно опускаем перпендикуляр В2. Получился А1А2В1В2 прямоугольник.

Находим середину А2В1 и обзываем точкой N. И середину А1В2 - обзываем M. Соединяем M & N - это наш мост NM, ну а потом соединяем N с В, а М с А, вот и найдено кратчашее расстояние от А до В. Так как за основу взято самое кратчайшее расстояние АВ - прямая линия, но условие поставить мост заставляет найти серединное положение в образованном прямоугольнике А1А2В1В2 и проходить этот мост MN будет точно по середине диагонали А1В1

Не доказано, что предлагаемое решение обеспечивает кратчайшее расстояние. В этом случае ни один из участков дороги не находится на прямой, соединяющей точки А и В. Почему бы не выбрать маршрут A-A1-A2-B или A-B2-B1-B - там, по крайней мере, хотя бы один из участков (А-А1 или В-В1) совпадает с кратчайшей прямой АВ. Может, так будет короче? Или еще какой-нибудь вариант...

Сообщение отредактировал Visual1: 23.06.2005, 00:37:18

[Centaur]

Эта задача аналогична предыдущей

Соответственно и ответ аналогичный:
мост ставим так, чтобы отрезки путей от точек А и В до моста лежали на параллельных прямых

Не приведен способ построения таких параллельных прямых. Также не приведено доказательство правильности предлагаемого решения.

Я же написал, что задача аналогичная (точнее более общая, но от этого логика решения не меняется)

Ладно приведу свое док-во:
Пусть С, D - ортогональные проекции точек A, B на ближайшие берега реки, соответственно, D1 -ортогональная проекция точки B на противоположный берег реки.
Тогда длина ломаной= (AC^2+CM^2)^0.5+NM+(BD^2+(CD1-CM)^2)^0.5,
где AC, CD1, BD, NM - заданы; СM - параметр, определяющий положение моста.
FOC, первая производная по CM:
СМ/(AC^2+CM^2)^0.5-(CD1-CM)/(BD^2+(CD1-CM)^2)^0.5=0
перепишем:
СМ/(AC^2+CM^2)^0.5=(CD1-CM)/(BD^2+(CD1-CM)^2)^0.5
Заметим, что левая часть уравнения - косинус угла СМА, а правая - косинус угла BND. Таким образом, это уравнение имеет единственное решение, т.е. длина ломанной имеет единственный экстремум (и логично, что это минимум; если не верится находим вторую производную и убеждаемся что она положительна в точке минимума). Минимум длины ломанной соответствует равенству косинусов углов, или равенству самих углов, т.е. BN и AM должны лежать на параллельных прямых.

Тогда, треугольники ACM и BDN - подобны (по правилу равенства углов для прямоугольных треугольников). Значит BD/AC=(СD1-CM)/CM. Получаем: СM=AC*CD1/(BD+AC).

Заметим, что от ширины реки решение не зависит.

[Visual1]

Я же написал, что задача аналогичная (точнее более общая, но от этого логика решения не меняется)

Ладно приведу свое док-во:
Пусть С, D - ортогональные проекции точек A, B на ближайшие берега реки, соответственно, D1 -ортогональная проекция точки B на противоположный берег реки.
Тогда длина ломаной= (AC^2+CM^2)^0.5+NM+(BD^2+(CD1-CM)^2)^0.5,
где AC, CD1, BD, NM - заданы; СM - параметр, определяющий положение моста.
FOC, первая производная по CM:
...

А я тоже написал, что задача, как и предыдущая, на уровне 8 класса, не выше. Значит, как и предыдущая задача, она должна решаться теми же методами и средствами, которые доступны 8-класснику. Никаких вычислений не требуется, о 1-й и 2-й производной в 8 классе еще не знают. И о синусах с косинусами тоже (если ошибаюсь, поправьте).

[Centaur]

Я же написал, что задача аналогичная (точнее более общая, но от этого логика решения не меняется)

Ладно приведу свое док-во:
Пусть С, D - ортогональные проекции точек A, B на ближайшие берега реки, соответственно, D1 -ортогональная проекция точки B на противоположный берег реки.
Тогда длина ломаной= (AC^2+CM^2)^0.5+NM+(BD^2+(CD1-CM)^2)^0.5,
где AC, CD1, BD, NM - заданы; СM - параметр, определяющий положение моста.
FOC, первая производная по CM:
...

А я тоже написал, что задача, как и предыдущая, на уровне 8 класса, не выше. Значит, как и предыдущая задача, она должна решаться теми же методами и средствами, которые доступны 8-класснику. Никаких вычислений не требуется, о 1-й и 2-й производной в 8 классе еще не знают. И о синусах с косинусами тоже (если ошибаюсь, поправьте).

конечно ошибаешься
или здесь собрались восмиклассники гуманитарных классов
тогда извиняюсь и глубоко раскланиваюсь: я не туда попал

[erbol21]

Кентавр, картинку выставьте для наглядности.

[Visual1]

конечно ошибаешься
или здесь собрались восмиклассники гуманитарных классов
тогда извиняюсь и глубоко раскланиваюсь: я не туда попал

Ну зачем же так бурно реагировать? Просто народ (сам автор данной темы) просил "что-нибудь попроще, с практической направленностью" (см. предыдущую страницу). Меня уже обвиняли в излишней сложности задач, так что я пошел навстречу этой просьбе, ведь она была обоснована самим названием темы (см. название темы). Вообще, у меня есть задачи поинтереснее (и посложнее) - но сначала реши эту. За восьмой класс. Повторяю, никаких вычислений не требуется.

[yedyge]

2. интегралы. что такое и для чего они?

автомобиль, шоссе.

преодолённое расстояние - очевидная штука. измеряется в км.
далее, средняя скорость (сколько пройдено км за энное время) - производная от расстояния по времени. измеряется км/ч.

ускорение (как меняется скорость (?км/ч) со временем (ч)). говоря очень грубо - как сильно придавлена педаль газа. это производная от скорости по времени. измеряется км/(ч*ч).
ясно?

теперь собственно интеграл.

интеграл от ускорения по времени - это скорость.
интеграл от скорости по времени - это расстояние.

это если очень-очень примитивно рассказывать с кучей оговорок.