Как это "как в предыдущей задаче"? В предыдущей задаче обе точки находились по одну сторону линии, и одну из них зеркально отображали относительно этой линии. А здесь точки А и В изначально по разные стороны реки. Что, куда, относительно чего будем здесь зеркально отображать (если уж так хочется подогнать под предыдущую задачу)? Выбросив в начале решения мост, вы должны его обратно восстановить (обратно развести берега на ширину реки). При восстановлении ширины реки линии AC1 и BC2 (или AM и BN согласно первоначальному чертежу) будут изменять свою длину и направление. Из приведенного описания невозможно построить чертеж - слишком много неопределенности.
Нет, не могу согласиться с таким решением. 
Ни длина, ни направление не меняются.
Знаете, академик В.И.Арнольд как то сказал "есть такие математики, которые вместо того, чтобы просто написать "Петя вымыл руки" пишут так: "Существует такое t0, t0 < 0, что при t <= t0 Петя(t) принадлежит множеству немыторуких, а при t > t_0 -- дополнению этого множества".
По-моему вы представитель именно второго типа математиков.
Попробую объяснить на вашем языке.
Имеем две точки A и B на плоскости, а также "реку", обозначенную двумя "берегами" - прямыми L1 и L2. L1 изображает берег со стороны пункта A, а L2 берег со стороны пункта B (если надо определить, что такое "берег со стороны A" тогда я пас, слишком много придется писать).
Полуплоскость, в которой лежит точка А, и границей которой является прямая L1, обозначим h1. Полуплоскость, в которой лежит точка B, и границей которой является прямая L2, обозначим h2.
Нужно найти такую точку С1 на прямой L1, чтобы минимизировать AC1+C1C2+C2B, где точка С2 принадлежит прямой L2 и однозначно определяется точкой C1 как образ точки C1 под действием параллельного переноса точки C1 на вектор, модуль которого (вектора) совпадает с шириной реки, а направление ортогонально L1 и направлено от L1 к L2 (определение "от L1 к L2" оставим в качестве упражнения читателям). Обозначим этот вектор v.
Перенесем параллельно полуплоскость h2 (вместе с точкой B) вдоль вектора --v ("минус v"). Прямая L1 и образ L2 совпадут как множества (модуль v равен ширине реки). Образ точки B под действием этого переноса обозначми B', образ прямой L2 обозначим L2'. Проводим прямую L3 соединяющую точки A и B'. Точку пересечения L3 с L1/L2' обозначим C1. Эта точка обеспечивает минимальность AC1+C1B'. Потому что для любой другой точки D1 на прямой L1 AD1+D1B'>AC1+C1B'=AB' по неравенству треугольника.
Обозначим через h3 полуплоскость, содержащую B', границей которой является L2'. Делаем параллельный перенос полуплоскости h3 вдоль вектора v. Образ точки B' под действием этого переноса совпадет с точкой B, а образ прямой L2' c прямой L2, образ точки C1 обозначим C2. C2B=C1B', так как отрезок C2B явлется параллельным переносом отрезка C1B'.
Докажем, что для любой другой точки D1 на прямой L1 справедливо неравенство
AC1+C1C2+C2B<AD1+D1D2+D2B,
где D2 явлется образом переноса D1 вдоль вектора v (таким образом D2 принадлежит L2), а С1 и С2 - найденные выше точки.
Так как C1C2=D1D2 достаточно доказать, что AC1+C2B<AD1+D2B.
Нам уже известно, что для любой точки D1, не совпадающей с C1 и лежащей на прямой L1 справедливо неравенство
AC1+C1B'<AD1+D1B',
также известно, что C2B=C1B'. Более того, D1B'=D2B, потому что отрезок D2B является образом отрезка D1B' под действием параллельного переноса.
Таким образом
AC1+C2B<AD1+D2B,
и
AC1+C1C2+C2B<AD1+D1D2+D2B.
Но я не понимаю зачем нужна эта казуистика, если можно рассказать проще.
Представим, что у нас большой прямоугольный лист бумаги (карта например), на котором нарисованы (ручкой) две точки и две параллельные сторонам листа прямые, разделяющие эти точки (река течет сторого на север). Разрезаем (ножницами) лист вдоль прямых, получаем два куска с одной из точек и одну полоску - речку. Стыкуем куски с точками (так, чтобы совпали края листа), рисуем отрезок (ручкой), соединяющий эти точки, вставляем обратно "речку". Дорисовываем на речке мост (понятно где). Почему любое другое положение не минимизирует доказывается в том же духе. Нарисовали путь с другим мостом, выбросили речку (вместе с нарисованными мостами), состыковали, увидели треугольник. Всё.
Войти
Регистрация
Наверх
