как можно продлить регистрацию
Без нарушения законодательства? Срок пролонгируют вам только при наличии оформленного РВП, ВНЖ, патента или тогда, когда вы уже подали документы на РВП, но решения пока нет. В этом случае у вас должна быть справка о переданных документах или специальная отметка на миграционной карте.
Здесь достаточно развернуто:
https://sdo-regional.ru/prof-post/novye-pravila-prodleniya-sroka-prebyvaniya-inostrannykh-grazhdan
Для граждан Казахстана ни патент, ни разрешение на работу не нужен.
Кроме РВП и ВНЖ, слышала, что можно устроится на работу по гражданско-правовому договору без выезда (надо уточнить в ОВМ по месту регистрации)