Все так прилетают с Астаны. Последний автобус в 00:40. Запросто можно успеть с этого рейса, особенно если без багажа. Сам так летал и ездил на автобусе-экспрессе 100Е (билет за ft900 - €3 покупается в автомате на автобусной остановке на выходе из терминала) с аэропорта до его конечной - вышеупомянутой узловой станции метро Деак Ференш. 100E ходит каждые 20 минут.
Обратно с той же остановки на другой стороне улицы маршрутами 100Е и 200Е. Первый - прямой экспресс, второй - обычный автобус с кучей остановок, но за ft350.
Если вдруг не успели, тут или ждать начала движения автобусов - 3:40 или брать такси. Такси с аэропорта будет стоить примерно ft6000 - €19. Uber в Венгрии нет, установите заранее его аналог Taxify. Интерфейс такой же. Потребуется мобильный интернет, тот же роуминг-пакет. Или найти такси на месте.
На booking.com куча разных отелей и хостелов как в 2 км от аэропорта (€6 в одну сторону на такси), так и в городе около Ferenc Deak. Хостел можно найти даже за €5 за койку
http://www.booking.com/Share-9Cs1kJ
Есть и гостиницы. От €24
По таким поздним заездам лучше списываться заранее с хостами. Иногда ещё и требуется заплатить за эти хлопоты (порядка €10)